我们用 \(p(x=1)\) 和 \(p(x=0)\) 分别表示一个cell是障碍物(occupied)或者空白(free)的 概率。当引入一个新的scan之后，由于存在上述的不确定性，我们不会就这样就断定相关 点概率为1或者0。通常是根据传感器的特性会给出一个值表示occupied( \(p(hit)\) )，另 一个值表示free(\(p(miss)\))。当又有scan经过这些点之后这样我们要对相关的cell进行 更新。而原则就是如果一 个cell 多次确定 是occupied或者free，那么他们的概率就 会越接近1或者0。

默认情况下，一个cell是occupied和free概率相同，也就是 \(p(x=1)=p(x=0)=0.5\) ，新的 scan观测信息 \(z\) 经过这些点之后就会更新，这时候相当于是计算 \(p(x|z)\) ：

\begin{equation} p(x|z)=\frac{p(x)p(z|x)}{p(z)} \end{equation}

如果每个点都要进行这些乘除运算会比较浪费资源，那么我们用另一种更方便的表示方法 来处理，引入概率比\(odd(x)\) ：

\begin{equation} odd(x)=\frac{p(x=1)}{p(x=0)} \end{equation}

我们会设置一个概率的最大最小值，防止分母出现0的情况，比如[0.1,0.9]。

• 初始情况下: 一个cell的状态没有任何信息，occupied和free的概率都是0.5，那 \(odd(x)=0.5/0.5=1\) 。当一个cell是障碍物可能性更大的时候，分子大于分母， \(odd(x)>1\) ，反之 \(0 < odd(x) < 1\)

• 当一个cell第一次被scan更新:

  \begin{cases}odd(x)=\frac{p(hit)}{1-p(hit)} & x \ is \ occupied\\odd(x)=\frac{p(miss)}{1-p(miss)} & x \ is\ free \end{cases}

• 当一个cell再次被更新时：

  \begin{equation} odd_{new}(x) = odd(x|z) = \frac{p(x=1|z)}{p(x=0|z)}=\frac{\frac{p(z|x=1)p(x=1)}{p(z)}}{\frac{p(z|x=1)p(x=1)}{p(z)}}=\frac{p(z|x=1)p(x=1)}{p(z|x=0)p(x=0)}=odd_{old}(x)\frac{p(z|x=1)}{p(z|x=0)} \end{equation}

  其中 \(odd_{new}(x)\) 表示更新后的状态， \(odd_{old}(x)\) 表示上次更新的状态。 \(\frac{p(z|x=1)}{p(z|x=0)}\) 是传感器的观测模型，由传感器自身决定，是一个常数。 结果为：

  \begin{equation} \frac{p(z|x=1)}{p(z|x=1)} = \begin{cases}\frac{p(z=1|x=1)}{p(z=1|x=0)} & p(hit)\\\frac{p(z=0|x=1)}{p(z=0|x=0)} & p(miss)\end{cases} \end{equation}

上面的计算依然是有几个乘除运算，更了更加简单，我们可以使用对数，将其转化为加 减运算。对上式两边取对数：

\begin{equation} \lg{odd_{new}(x)} = \lg{odd_{old}(x)} + \lg{\frac{p(z|x=1)}{p(z|x=0)}} \end{equation}

当一个cell倾向于是occupied的时候，对数>0，反之则<0。

其中加号左侧是上一次更新的结果，后边依然是随传感器本身确定的常数，相应的这个 cell被确定为occupied或者free对应两个常数，我们分别定义为 \(looccu\) 和 \(lofree\) 。 这样更新结果就简单了。

加入 \(looccu=0.9\) ，\(lofree=-0.7\) ，看看下面的更新结果。

在看cartographer的代码的时候，发现它预先保存了两个表，将概率区间 [pmin, pmax] 直接通过查表就可以更新结果。

因为前面说了更新的实质就是这个cell状态被确定的次数越多，状态确定性越大。上式 中加号右边是两种值，那么就可以创建两个表 hit_tables 和 miss_table，加号坐标的 值范围也是确定的，那么我们就将这个范围按照足够小的步长分别计算出结果存在两个 表中。这样每一个 \(\lg{odd_{old}(x)}\) 在两个表中分别对应一个结果。根据上次更新 的结果直接在两个表中查询就得到了更新的结果了。一次计算都不用。

cartographer中为了效率更高，将[pmin,pmax]的浮点数全部映射到uint16的整数区间， 两个表都是一个数组，index就代表概率的大小，其实更加简单了。